(2ºPostagem de Matemática-Carlos).Mostrar exercícios(problemas) sobre função exponencial

Grupo:Jean Correia de Moura,Amanda Venâncio, Iasmin Layane da Costa Silva, ,Maria Clara Albuquerque de Lima, Rayanne Kelly de Souza, Thaissa Caroline Honorato Siqueira. (1ºano II MANHÃ).

                                                                                          

                          Exercícios sobre função exponencial:

1 –Dado o número real a e sendo n um número natural maior ou igual a 2, poderemos definir: 
a ⁿ = a.a.a.a. ... . a , onde o termo a repete-se n vezes. O termo a é denominado, historicamente, como base  e n , expoente.
Assim, a² = a.a , a³ = a.a.a,  a⁴ = a.a.a.a , ... , e assim sucessivamente.
Exemplos:
2³ = 2.2.2 = 8
(-5)³ = (-5).(-5).(-5) = (+25).(-5) = -125
0¹⁰⁰ = 0.0.0. ... 0 = 0
(√2).(√2) = √4 = 2
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2 – As seguintes propriedades são facilmente demonstráveis usando a definição do item (1) acima, para a, b, reais e m, n inteiros positivos. (Em a realidade, as propriedades seguintes são válidas para m ,  n quaisquer (reais ou complexos), o que adiantamos para vocês, aqui,  apenas por uma conveniência didática) :

P1) a^m . aⁿ = a^m+n
P2) a^m / aⁿ = a^m-n
P3) (a.b)ⁿ = aⁿ .bⁿ
P4) (a ^m)ⁿ = a^m.n
P5) (a/b)ⁿ = aⁿ /bⁿ , para b ≠ 0.

Exemplos:

a)2³.2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸ = 2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 64
b) 2⁷/2³ = (2^7-3) = 2⁴ = 2.2.2.2 = 16
c) (2.5)³ = 2³.5³ = 2.2.2.5.5.5 = 8.125 = 1000
d) (100/20)³ = 100³/20³ = 5³ = 5.5.5 = 125

Nota: Partindo-se da premissa (argumento) de que se A = B então B = A, é bastante conveniente “enxergar” as propriedades P1, P2, P3, P4 e P5 acima, também no sentido da direita para a esquerda, ou seja:

P’1) a^m+n = a^m . aⁿ
P’2) a^m-n = a^m / aⁿ
P’3) aⁿ .bⁿ = (a.b)ⁿ
P’4) a^m.n = (a ^m)ⁿ
P’5) aⁿ /bⁿ = (a/b)ⁿ , para b ≠ 0.

Por exemplo, às vezes é mais prático (para a resolução de problemas) concluir que (1000² /50²) = (1000/50)² =20² = 20.20 = 400, do que o contrário.

3 – Expoente negativo: ampliando o conceito

Todas as definições acima, consideraram os expoentes sendo números inteiros positivos ou nulo. E se o expoente for negativo? Bem, neste caso, partindo-se do princípio de que a⁰ = 1  poderemos imaginar a seguinte operação: a⁰ / aⁿ .

Ora, pela propriedade P5 acima, poderemos escrever:
(a⁰ / a ⁿ) = a^0-n = a^-n
E como a⁰ = 1, vem finalmente: 1/aⁿ = a^-n

Assim, lembrando que se A=B então B=A, poderemos concluir:

a^-n = 1 / aⁿ

Nota: claro que o número a tem que ser diferente de zero. Lembre-se que não há divisão por zero na Matemática! Experimente dividir uma maçã para zero pessoas! Claro que não haverá nenhuma forma de fazê-lo!

4 –   Expoente fracionário: ampliando o conceito um pouco mais

Seja a potencia  a^x/y onde a é um número real  e  x e y números inteiros.
Fazendo a^x/y = F, teremos elevando ambos os membros ao expoente y fica:
(a^x/y) ^y = F ^y , de onde deduz-se imediatamente que a^x = F^y .
Ora, sabemos que se A ⁿ = B, então  A = ⁿ√B. Logo, poderemos escrever que F = ^y√a^x e, como a ^x/y = F, concluímos finalmente que:

a ^x/y = ^y√a^x

Exemplos:
16^1/2 = √16 = 4
8^2/3 = ³√8² = ³√64 = 4, etc

5 – A função exponencial
Seja  0 < a ≠ 1, ou seja: a  é um número positivo e diferente de 1.
Define-se a função exponencial simples em R (conjunto dos números reais) como sendo a função f: R ® R ; y = f(x) = a^x .
Exemplos: y = 2^x , y = (1/3)^x , y = (√2)^x , etc

Nota: a exigência de que 0 < a ≠ 1 , decorre do fato de que se a = 1, teríamos y = 1^x = 1 (trata-se neste caso da função constante
y = 1, que obviamente não é uma função exponencial); se a = 0, teríamos y = 0^x = 0, para x>0 ; se a < 0, por exemplo a = -2, teríamos y = (-2)^x , que não seria definida para todo x Î R (conjunto dos números reais) pois por exemplo, para x = ½ ficaria
y = √(-2) que não é um número real. Então, para que y = a^x seja uma função exponencial é obrigatório que a base a seja positiva e diferente de 1.