Números complexos
Kalênya Melo
Registros históricos mostram
que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração.
Portanto, por necessidades da investigação matemática, o universo dos números naturais foi expandido amplamente. Alguns matemáticos europeus, em particular os italianos Gerolamo Cardano e Rafaello Bombelli, introduziram os números complexos na Álgebra, durante o Século XVI, quando eles assumiram a existência de raízes quadradas de números negativos, apesar de considerarem algumas raízes “números impossíveis” e, assim, denominá-los “números imaginários”. Por esse motivo, até hoje perdura o nome de números imaginários quando nos referimos a raízes quadradas de números negativos.
Portanto, por necessidades da investigação matemática, o universo dos números naturais foi expandido amplamente. Alguns matemáticos europeus, em particular os italianos Gerolamo Cardano e Rafaello Bombelli, introduziram os números complexos na Álgebra, durante o Século XVI, quando eles assumiram a existência de raízes quadradas de números negativos, apesar de considerarem algumas raízes “números impossíveis” e, assim, denominá-los “números imaginários”. Por esse motivo, até hoje perdura o nome de números imaginários quando nos referimos a raízes quadradas de números negativos.
Vários matemáticos
estudaram sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram ter uma
interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números
complexos, que representamos por C.
O conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:
x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z.
O conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:
x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z.
Dois números complexos são iguais se, e somente se,
apresentam iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e
z2=c+di, temos que:
z1=z2<==> a=c e b=d
Para a gente somar dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
z1=z2<==> a=c e b=d
Para a gente somar dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
Kamilla Cardoso
A
história dos números complexos revela-se fascinante. Registros históricos
mostram que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração.
Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações. Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero. Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é √2 . Ora, √2 não é razão de naturais!
Portanto, por necessidades intrínsecas da investigação matemática, o universo dos números naturais foi expandido amplamente. Durante o desenvolvimento da Álgebra, na Idade Média, os matemáticos italianos exploraram vários tipos de equações e classificaram suas soluções. Essa investigação mostrou que algumas equações não possuíam solução em termos dos números conhecidos. Um dos problemas enfrentados consistia na solução da equação x² + 1 = 0. Essa equação não parecia ter solução, pois contrariava o fato de que todo número real distinto de zero, quando elevado ao quadrado, é positivo.
Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações. Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero. Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é √2 . Ora, √2 não é razão de naturais!
Portanto, por necessidades intrínsecas da investigação matemática, o universo dos números naturais foi expandido amplamente. Durante o desenvolvimento da Álgebra, na Idade Média, os matemáticos italianos exploraram vários tipos de equações e classificaram suas soluções. Essa investigação mostrou que algumas equações não possuíam solução em termos dos números conhecidos. Um dos problemas enfrentados consistia na solução da equação x² + 1 = 0. Essa equação não parecia ter solução, pois contrariava o fato de que todo número real distinto de zero, quando elevado ao quadrado, é positivo.
Bárbara Simplício
No século XVI , os matemáticos Cardano
e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes
quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram
ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os
criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem
ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Nathália Guedes
O conceito de número complexo teve um desenvolvimento gradual. Começaram a ser utilizados formalmente no século XVI em fórmulas de resolução de equações de terceiro e quarto graus.
Os primeiros que conseguiram dar soluções a equações cúbicas foram Scipione del Ferro e Tartaglia. Este último, depois de ter sido alvo de muita insistência, passou os resultados que tinha obtido a Girolamo Cardano, que prometeu não divulgá-los. Cardano, depois de conferir a exatidão das resoluções de Tartaglia, não honrou sua promessa e publicou os resultados, mencionando o autor, em sua obra Ars Magna de 1545, iniciando uma enorme inimizade.
Maria Izabelle
A Teoria dos Números é o ramo da Matemática que investiga as
propriedades dos números naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... .
Os números naturais surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a
humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de número natural foi
axiomatizado (axiomas são afirmações aceitas como verdades iniciais
sem demonstração) em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932),
numa das primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração
Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos inteiros, aos
racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, aos octonions, aos
números de Cayley, ... .
É impossível imaginar a Teoria dos Números
desprovida da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável Complexa. Um
dos exemplos mais importantes é a função de uma variável complexa denominada função
Zeta de Riemann que dá informações sobre a distribuição dos números primos.
Mateus Nóbrega
Resolver
equações sempre foi um assunto que fascinou matemáticos ao longo da historia.
Os matemáticos antigos da Babilônia já conseguiam resolver algumas equações do
2 grau baseados no que hoje chamamos de completamente de quadrado".Os
matemáticos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da
matemática, resolviam alguns tipos de equações do 2 grau com régua e compasso.A
conquista da Grécia por Roma praticamente acabou com o domínio da Matemática
Grega.Com o m do Império Romano e a ascensão do Cristianismo, a Europa entrou
na Idade das Trevas e o desenvolvimento da Matemática ficou nas mãos dos árabes
e dos hindus. Os matemáticos hindus avançaram nas pesquisas em Álgebra Baskara
e o nome que imediatamente vem a nossa memória quando falamos de equações do
2grau. Entretanto a formula de Baskara não foi descoberta por ele, mas sim pelo
matemático hindu Sridhara, no século 11.
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