Trabalho (Individual) de Matemática, Carlos.

Grupo: Caio Enrique, Charles Souza, Esdras Santos, Humberto Alencar, José Alves, Pietra Simplício e Zeus Lima. Série : 2° ano - I

              Números Complexos

Caio Henrique:

No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos
Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:
z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária .
Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)
w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)
u = 100i ( a = 0 e b = 100)
OBS: ( i²) é igual a -1
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real .
Ex: z = 5 = 5 + 0i .
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja,
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z .
z = a + bi ® = a - bi
Ex: z = 3 + 5i ; = 3 - 5i
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIA
Regra : Para dividir um número complexo z por outro w ¹ 0 , basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador .

Charles Souza:
Conceito de Número Complexo Um número complexo é um número que pode ser escrito na forma, em que e são números reais e denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade , sendo que e são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de .
Resumo Histórico dos Números Complexos
A grande obra a favor dos números complexos apareceu em 1831, na qual Gauss inventou o termo "números complexos". Em 1837, Hamilton (1805-1895) percorreu o último degrau com relação a essas descobertas reconhecendo os números complexos como um par ordenado de números reais (a,b) e reescrevendo as definições geométricas de Gauss na forma algébrica( z=a + bi).

Esdras Santos:
Os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, no século XVI, realizaram os primeiros progressos sobre os números complexos no estudo das raízes quadradas de números negati- vos. Porém, dois séculos depois, os estudos foram mais aprofundados por Wesses, Argand e Gauss, estes são considerados os criadores dos números complexos. Fatos Curiosos : Um problema inquietante percebido naquela época foi que algumas equações (as equações que tem três raízes reais, chamadas de casus irreducibilis) levavam a raízes quadradas de números negativos.
Humberto Alencar:

   O conceito de número complexo teve um desenvolvimento gradual. Começaram a ser utilizados formalmente no século XVI em fórmulas de resolução de equações de terceiro e quarto graus. Os primeiros que conseguiram dar soluções a equações cúbicas foram Scipione del Ferro e Tartaglia. Este último, depois de ter sido alvo de muita insistência, passou os resultados que tinha obtido a GirolamoCardano, que prometeu não divulgá-los. Cardano, depois de conferir a exatidão das resoluções de Tartaglia, não honrou sua promessa e publicou os resultados, mencionando o autor, em sua obra ArsMagna de 1545, iniciando uma enorme inimizade.

José Alves:
Um pouco de história
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 . Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .
Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i
Potências de i : i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2 . i = -i i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1 i5 = i4 . i = 1.i = i i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1 i7 = i6 . i = -i , etc.
Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero. Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:
i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).
Exemplo: Calcule i2001 Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .
NÚMERO COMPLEXO
Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária . Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3) w = -3 -5i (a = -3 e b = -5) u = 100i ( a = 0 e b = 100)
NOTAS: a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z . b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária. Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) . c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário
puro . Ex: z = 3i . d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real . Ex: z = 5 = 5 + 0i . e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos. f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .

Pietra Simplício:

   A Teoria dos Números é o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a humanidade desprovida da habilidade de contar.         O conceito de número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, aos octonions, aos números de Cayley, ... .

É impossível imaginar a  Teoria dos Números desprovida da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann que dá informações sobre a distribuição dos números primos

Zeus Lima:

    O matemático, médico e físico Gerônimo Cardano (1501 – 1576), escreveu a sua obra Ars Magna, onde aparece pela primeira vez  a fórmula da resolução de equações cúbicas : se x³ + ax + b = 0, então

               

                X = ³√- b + √a³ + b²         +    ³√- b - √a³ + b²

                                     2       27    4                       2      27     4

        O algebrista italiano Rafael Bombelli (1526 – 1573), em seu livro chamado Álgebra, publicou a resolução da equação x³ – 15x – 4 = 0aplicando a fórmula acima e obteve:

                X =³√2 + √-121    +  ³√2 - √-121

        Mas na época os matemáticos não aceitavam a existência de raiz quadrada de número negativo. No entanto Bombelli  observou que por substituição, 4 (quatro) era uma das raízes da equação x³–15x – 4 = 0 . Depois de muitas tentativas de resolução dessa equação, Bombelli utilizou √-121  como ferramenta de cálculo.

        O matemático Albert Girard (1590 – 1633) escrevia as raízes quadradas de números negativos na forma a + b√-1

        O filósofo, matemático e físico René Descartes (1596 – 1650) passou a chamar a notação a + b√-1, a de parte real e b de imaginário.

        O matemático Leonhard Euler (1707 –1783) usa a letra i para representar √-1.

        Caspar Wessel matemático norueguês, em 1797 apresentou a representação geométrica de a + bi.

        Em 1832, o astrônomo, matemático e físico alemão Karl Friedrich Gauss passou a chamar os números da forma a + bi de Números Complexos, representando-os como pontos de um plano como notação (a,b)

        O matemático irlandês William Rowan Hamilton em 1833 apresentou um trabalho dando a regra da multiplicação que é feita até hoje.

        Hoje além dos números complexos serem úteis à matemática, têm grande aplicação na Física e na Engenharia.